三、矩阵基础篇：声明与基本运算
前置：已完成安装，了解
Matrix与Array的基本区别。
3.1 矩阵和向量的声明
Eigen 中，矩阵表示线性变换、系数表或二维数据；列向量表示坐标、状态、参数或观测值；行向量常用于一行数据、转置结果或统计场景。
后续章节默认以列向量作为主要约定；如果没有特别说明，VectorXd 一般指动态大小的列向量。
Eigen提供了丰富的类型别名，简化矩阵和向量的声明。
类型命名规则
Matrix[尺寸][数据类型]
尺寸：X = 动态大小, N = 固定大小 N (如 2, 3, 4)
数据类型：d = double, f = float, i = int, cd = complex<double>
常用类型速查表
| 类型 | 完整定义 | 说明 |
|---|---|---|
Matrix3d | Matrix<double, 3, 3> | 3×3双精度矩阵 |
MatrixXd | Matrix<double, Dynamic, Dynamic> | 动态双精度矩阵 |
Vector3f | Matrix<float, 3, 1> | 3维单精度列向量 |
RowVector3d | Matrix<double, 1, 3> | 3维双精度行向量 |
VectorXd | Matrix<double, Dynamic, 1> | 动态双精度列向量 |
RowVectorXd | Matrix<double, 1, Dynamic> | 动态双精度行向量 |
声明示例
// 固定大小矩阵（尺寸在编译期确定，通常更容易被优化）
Eigen::Matrix3d A; // 3×3双精度矩阵
Eigen::Vector3d v1; // 3维列向量
// 动态大小矩阵（尺寸在运行时确定）
Eigen::MatrixXd D(10, 10); // 10×10双精度矩阵
Eigen::VectorXd v2(100); // 100维动态列向量
// 特殊矩阵
Eigen::Matrix3d I = Eigen::Matrix3d::Identity(); // 单位矩阵
Eigen::MatrixXd Z = Eigen::MatrixXd::Zero(5, 5); // 零矩阵
Eigen::MatrixXd R = Eigen::MatrixXd::Random(3, 3);// 随机矩阵
3.2 矩阵初始化方法
逗号初始化适合小型固定大小对象；循环赋值适合按规则填充；预定义函数适合零矩阵、单位矩阵、常量矩阵、随机矩阵等场景。
// 方法1：逗号初始化
Eigen::Matrix3d A;
A << 1, 2, 3,
4, 5, 6,
7, 8, 9;
// 方法2：逐个元素赋值
Eigen::MatrixXd B(3, 3);
for (int i = 0; i < 3; ++i)
for (int j = 0; j < 3; ++j)
B(i, j) = i * 3 + j + 1;
// 方法3：预定义函数
Eigen::Matrix3d C = Eigen::Matrix3d::Zero(); // 全零
Eigen::Matrix3d D = Eigen::Matrix3d::Identity(); // 单位矩阵
Eigen::Matrix3d E = Eigen::Matrix3d::Constant(5); // 全为5
Eigen::Matrix3d F = Eigen::Matrix3d::Random(); // 随机值
3.3 基础矩阵运算
A * B 是矩阵乘法，A.array() * B.array() 是逐元素乘法。涉及 sqrt、exp、逐元素乘除法时，使用 Array 视图。
Eigen::Matrix3d A, B;
A << 2, -1, 0,
-1, 2, -1,
0, -1, 2; // 可逆矩阵
B << 9, 8, 7,
6, 5, 4,
3, 2, 1;
// 算术运算
Eigen::Matrix3d C = A + B; // 矩阵加法
Eigen::Matrix3d AB = A * B; // 矩阵乘法
Eigen::Matrix3d scaled = A * 2.0; // 数乘
// 转置
Eigen::Matrix3d At = A.transpose();
// 矩阵属性
double det = A.determinant(); // 行列式
double tr = A.trace(); // 迹
double norm = A.norm(); // Frobenius范数
Eigen::Matrix3d Ainv = A.inverse(); // 逆矩阵（仅对可逆方阵有意义）
// 逐元素运算（需转换为Array）
Eigen::Matrix3d coeff_product = A.array() * B.array(); // 逐元素乘法
// 逐元素平方根要求元素非负；这里单独构造一个满足前提的示例矩阵
Eigen::Matrix3d P;
P << 1, 4, 9,
16, 25, 36,
49, 64, 81;
Eigen::Matrix3d sqrtP = P.array().sqrt();
3.4 向量运算
dot() 是点积，返回标量；cross() 限于三维向量；normalized() 返回新向量（不修改原对象），normalize() 原地修改。
Eigen::Vector3d v1(1, 2, 3);
Eigen::Vector3d v2(4, 5, 6);
// 基本运算
double dot = v1.dot(v2); // 点积
Eigen::Vector3d cross = v1.cross(v2); // 叉积（仅3D向量）
double norm = v1.norm(); // 欧几里得范数
// normalized() 返回新的归一化向量，不修改 v1 本身
Eigen::Vector3d normalized = v1.normalized();
// 向量元素运算（此时 v1 仍是原始值 {1, 2, 3}）
v1.sum(); // 所有元素之和
v1.prod(); // 所有元素之积
v1.mean(); // 平均值
v1.minCoeff(); // 最小值
v1.maxCoeff(); // 最大值
// normalize() 直接修改原向量
v1.normalize(); // 此后 v1 变为单位向量
3.5 数据类型与存储
block、Map、Ref、切片等功能与对象尺寸是否已知、内存是否连续、存储顺序密切相关。
- 小矩阵优先用固定大小类型
- 尺寸运行时确定时用动态大小类型
- Eigen 默认列优先（ColMajor）
固定大小 vs 动态大小
| 特性 | 固定大小 (Matrix3d) | 动态大小 (MatrixXd) |
|---|---|---|
| 尺寸信息 | 编译期已知 | 运行时确定 |
| 性能 | 对小而固定的矩阵通常更容易优化 | 更灵活，但通常会有动态分配开销 |
| 适用场景 | 小矩阵、尺寸固定场景 | 大矩阵或尺寸未知 |
存储顺序
// Eigen默认列优先存储（与MATLAB、Fortran一致）
Eigen::Matrix<double, 3, 4, Eigen::ColMajor> A; // 列优先（默认）
Eigen::Matrix<double, 3, 4, Eigen::RowMajor> B; // 行优先（与C一致）
// 访问元素
A(i, j); // 第i行第j列（从0开始）