二、基础篇：Eigen简介与快速入门

覆盖 Eigen 的整体概览、最小示例、命名空间使用规范。

完成安装验证后，继续阅读：

• 矩阵基础篇：矩阵/向量声明、初始化、运算与存储
• 高级操作篇：块操作、Array、Map、Ref 等进阶主题

2.1 什么是Eigen？

Eigen 是一个高性能的C++模板库，专注于线性代数、矩阵和向量运算。核心特点：

Matrix vs Array：Eigen提供两种核心类型

• Matrix：用于线性代数运算（矩阵乘法、分解、求解线性方程等）
• Array：用于逐元素运算（sin、exp、逐元素乘法等）

A * B 在 Matrix 语义下表示矩阵乘法，在 Array 语义下表示逐元素乘法。

2.2 快速入门示例

#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>

int main() {
    // 使用固定大小的矩阵（尺寸在编译期确定，通常更容易被优化）
    Eigen::Matrix3d A;
    A << 1, 2, 3,
         4, 5, 6,
         7, 8, 9;
    
    // 使用动态大小矩阵（尺寸在运行时确定）
    Eigen::MatrixXd B(3, 3);
    B.setRandom();  // 随机初始化

    // 已知尺寸时，也可继续使用固定大小矩阵
    Eigen::Matrix3d B_fixed = Eigen::Matrix3d::Random();
    
    // 向量操作
    Eigen::Vector3d v(1, 2, 3);
    
    // 矩阵运算
    Eigen::MatrixXd C = A * B;        // 固定大小 × 动态大小 -> 结果也更自然地写成动态矩阵
    Eigen::Matrix3d C_fixed = A * B_fixed; // 固定大小 × 固定大小
    Eigen::Vector3d y = A * v;        // 矩阵-向量乘法
    double dot = v.dot(v);            // 点积
    
    std::cout << "A =\n" << A << "\n\n";
    std::cout << "A * B 的尺寸: " << C.rows() << " x " << C.cols() << "\n";
    std::cout << "A * v =\n" << y << "\n";
    std::cout << "v · v = " << dot << "\n";
    
    return 0;
}

编译命令

未完成环境配置的，先完成 安装篇 的最小验证。

# Linux/macOS
g++ -std=c++17 -I/path/to/eigen -O2 -o eigen_intro eigen_intro.cpp

# Windows (MinGW)
g++ -std=c++17 -I"C:\eigen" -O2 -o eigen_intro.exe eigen_intro.cpp

2.3 命名空间使用指南

// 方式1：完整命名空间（推荐，避免命名冲突）
Eigen::Matrix3d A;
Eigen::VectorXd v;

// 方式2：函数内局部using（推荐）
void my_function() {
    using namespace Eigen;
    Matrix3d A;  // 仅在此函数内有效
}

// 方式3：使用using声明
using Eigen::Matrix3d;
Matrix3d A;

最佳实践：头文件中必须使用完整命名空间，源文件中可使用局部 using namespace。示例代码中用 using namespace Eigen; 的情况均为示例场景，不照搬到公共头文件中。

后续章节会逐步引入更多类型、表达式和分解器，保持类型和命名空间书写清晰有助于减少混淆。

常见问题 (FAQ)

Q: Eigen与MATLAB相比有什么优势？

A:

• 性能: C++编译代码执行效率远高于MATLAB解释执行
• 部署: 可生成独立可执行文件，无需运行时环境
• 集成: 易于集成到现有C++项目中
• 成本: 完全开源免费（MPL2许可证）

Q: 固定大小矩阵为什么比动态大小矩阵更容易被优化？

A: 主要有两个原因：

1. 栈分配 vs 堆分配：固定大小矩阵（如 Matrix4d）的数据是对象内部的静态数组，直接在栈上分配，没有堆内存分配开销；动态大小矩阵（如 MatrixXd）在运行时分配堆内存。
2. 向量化与对齐：当固定大小矩阵的尺寸是 16 字节的整数倍时（如 Vector2d、Matrix4d），Eigen 申请 SIMD 要求的对齐（16/32/64 字节），利用对齐的 SSE/AVX 指令高效读写。这类为“固定大小可向量化“（fixed-size vectorizable）类型。

固定大小可向量化类型在 new 分配、STL 容器、按值传递等场景下需要注意内存对齐问题。详见 调试与排错篇 9.2 节。

Q: Eigen支持GPU计算吗？

A: Eigen 很早就支持在 CUDA 内核中使用固定大小的矩阵、向量和数组类型；这并不是 5.0 才新增的能力。对于动态大小矩阵，通常更适合结合 cuBLAS 等库，或采用 CPU/GPU 混合计算方案。

练习题

1. 基础练习: 创建一个3×3单位矩阵，计算其行列式和逆矩阵。
2. 思考练习: 解释为什么固定大小矩阵(Matrix3d)通常比动态大小矩阵(MatrixXd)更容易被优化？（提示：从内存分配和向量化两个角度思考）
3. 衔接练习: 思考下面三个概念分别会在后续哪一章深入展开：
   • Matrix 与 Array 的区别
   • 可逆矩阵与线性方程组求解
   • Map 与 Ref 的用途

小结

• Eigen 是一个面向线性代数的高性能 C++ 模板库
• 支持固定大小和动态大小对象
• Matrix 与 Array 的语义不同，不能混为一谈
• 教程示例默认使用 C++17
• 头文件中应避免 using namespace Eigen

下一步：矩阵基础篇

对应官方文档：Getting Started